베른하르트 리만(Bernhard Riemann, 1826–1866)은 1859년 베를린 아카데미의 통신원으로 선출된 직후, 단 8쪽짜리 논문 한 편을 제출했다. 제목은 "주어진 양보다 작은 소수의 개수에 대하여(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe)". 이 짧은 논문은 오일러의 곱공식에서 출발해 소수의 분포를 복소 함수론의 언어로 재서술하고, 이후 수학사에서 가장 유명한 미해결 문제가 될 리만 가설을 처음으로 제시한다. 가우스와 르장드르가 경험적으로 추측하던 소수 정리는 이 논문의 아이디어를 통해 40년 뒤 아다마르와 드 라 발레 푸생에 의해 증명된다. 아래는 David R. Wilkins의 1998년 영어 번역을 저본으로 한 한국어 번역이다. 원문은 인용문으로 병기한다.

주어진 양보다 작은 소수의 개수에 대하여

베른하르트 리만 1859년 11월, 베를린 아카데미 보고서 (영역: David R. Wilkins, 1998년)

I believe that I can best convey my thanks for the honour which the Academy has to some degree conferred on me, through my admission as one of its correspondents, if I speedily make use of the permission thereby received to communicate an investigation into the accumulation of the prime numbers; a topic which perhaps seems not wholly unworthy of such a communication, given the interest which Gauss and Dirichlet have themselves shown in it over a lengthy period. For this investigation my point of departure is provided by the observation of Euler that the product

저는 아카데미가 저에게 부여해주신 영예에 대한 감사를, 저를 통신원 중 한 명으로 받아들여 주신 덕분에 허락된 이 기회를 통해 소수의 누적에 관한 연구를 전달함으로써 가장 잘 표현할 수 있다고 생각합니다. 가우스와 디리클레가 오랜 세월 깊은 관심을 보여온 주제인 만큼, 이 연구를 전달할 가치가 없지 않을 것입니다. 이 연구의 출발점은 오일러의 다음 관찰입니다.

$\prod \frac{1}{1 - p^{-s}} = \sum \frac{1}{n^s}$

if one substitutes for $p$ all prime numbers, and for $n$ all whole numbers. The function of the complex variable $s$ which is represented by these two expressions, wherever they converge, I denote by $\zeta(s)$ . Both expressions converge only when the real part of $s$ is greater than 1; at the same time an expression for the function can easily be found which always remains valid.

$p$ 를 모든 소수로, $n$ 을 모든 자연수로 대입하면 위의 등식이 성립합니다. 이 두 표현식이 수렴하는 영역에서 복소 변수 $s$ 의 함수를 $\zeta(s)$ 로 표기합니다. 두 표현식 모두 $s$ 의 실수부가 1보다 클 때에만 수렴합니다. 동시에 항상 유효한 함수의 표현식도 쉽게 구할 수 있습니다.

On making use of the equation

다음 방정식을 사용하면

$\int_{0}^{\infty} e^{-nx} x^{s-1}\, dx = \frac{\Gamma(s-1)}{n^s}$

one first sees that

먼저 다음이 성립함을 알 수 있습니다.

$\Gamma(s-1)\, \zeta(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}\, dx}{e^x - 1}$

If one now considers the integral

이제 다음 적분을 고려합니다.

$\int \frac{(-x)^{s-1}\, dx}{e^x - 1}$

from $+\infty$ to $+\infty$ taken in a positive sense around a domain which includes the value 0 but no other point of discontinuity of the integrand in its interior, then this is easily seen to be equal to

이 적분을 0은 포함하지만 피적분 함수의 다른 불연속점은 포함하지 않는 영역을 양의 방향으로, $+\infty$ 에서 출발하여 $+\infty$ 로 돌아오는 경로로 취하면 다음과 같음을 쉽게 알 수 있습니다.

$(e^{-\pi s i} - e^{\pi s i}) \int \frac{x^{s-1}\, dx}{e^x - 1}$

provided that, in the many-valued function $(-x)^{s-1} = e^{(s-1)\log(-x)}$ , the logarithm of $-x$ is determined so as to be real when $x$ is negative.

단, 다값 함수 $(-x)^{s-1} = e^{(s-1)\log(-x)}$ 에서 $-x$ 의 로그는 $x$ 가 음수일 때 실수가 되도록 결정합니다.

Hence

따라서

$2\sin(\pi s)\, \Gamma(s-1)\, \zeta(s) = i \int_{\infty}^{\infty} \frac{(-x)^{s-1}\, dx}{e^x - 1}$

where the integral has the meaning just specified. This equation now gives the value of the function $\zeta(s)$ for all complex numbers $s$ and shows that this function is one-valued and finite for all finite values of $s$ with the exception of 1, and also that it is zero if $s$ is equal to a negative even integer. If the real part of $s$ is negative, then, instead of being taken in a positive sense around the specified domain, this integral can also be taken in a negative sense around that domain containing all the remaining complex quantities, since the integral taken through values of infinitely large modulus is then infinitely small. However, in the interior of this domain, the integrand has discontinuities only where $x$ becomes equal to a whole multiple of $\pm 2\pi i$ , and the integral is thus equal to the sum of the integrals taken in a negative sense around these values. But the integral around the value $n \cdot 2\pi i$ is $= (-n \cdot 2\pi i)^{s-1}(-2\pi i)$ , one obtains from this

여기서 적분은 앞서 지정한 의미를 가집니다. 이 방정식은 모든 복소수 $s$ 에 대한 함수 $\zeta(s)$ 의 값을 제공하며, 이 함수가 $s = 1$ 을 제외한 모든 유한한 $s$ 값에서 일가(one-valued)이고 유한하며, $s$ 가 음의 짝수 정수일 때 0임을 보여줍니다. $s$ 의 실수부가 음수인 경우, 지정된 영역 주위를 양의 방향으로 취하는 대신, 나머지 모든 복소수를 포함하는 영역 주위를 음의 방향으로 취할 수도 있습니다. 무한히 큰 절댓값을 통해 취해진 적분은 무한히 작아지기 때문입니다. 그러나 이 영역의 내부에서 피적분 함수는 $x$ 가 $\pm 2\pi i$ 의 정수배가 되는 곳에서만 불연속성을 가지므로, 적분은 그러한 값들 주위를 음의 방향으로 취한 적분들의 합과 같습니다. $n \cdot 2\pi i$ 값 주위의 적분은 $(-n \cdot 2\pi i)^{s-1}(-2\pi i)$ 이므로, 다음을 얻습니다.

$\Gamma\!\left(\frac{s}{2} - 1\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s)$

이를 정리하면

$\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)(s-1)\,\pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = \xi(t)$

여기서 $\xi$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

$\xi(t) = \frac{1}{2} - \left(t^2 + \frac{1}{4}\right) \int_{1}^{\infty} \psi(x)\, x^{-\frac{3}{4}} \cos\!\left(\frac{1}{2} t \log x\right) dx$

또는 동치의 형태로

$\xi(t) = 4 \int_{1}^{\infty} \frac{d\!\left(x^{\frac{3}{2}} \psi'(x)\right)}{dx}\, x^{-\frac{1}{4}} \cos\!\left(\frac{1}{2} t \log x\right) dx$