선형대수학

1.4 일차결합 (Linear Combination)

앞서 알아본 내용을 복기해 보도록 합시다.

공간에서 한 직선 위에 있지 않는 세 점 A, B, C를 지나는 평면의 방정식이 $\mathbf{x} = A + s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$임을 알았습니다. A가 원점이면 이 평면은 $\mathbf{x} = s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$로 나타낼 수 있고, $\mathbb{R}^3$의 부분공간입니다. $s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$라는 표현은 벡터공간을 다룰 때 아주 중요하기 때문에 반드시 기억해 두시기 바랍니다.

정의 (Definition)

$\mathbf{V}$는 벡터공간이고, $S$는 $\mathbf{V}$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 합시다. 유한개의 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n \in S$와 스칼라 $a_1, a_2, \ldots, a_n$에 대하여 다음을 만족하는 벡터 $\mathbf{v} \in \mathbf{V}$는 $S$의 **일차결합(linear combination)**이라고 합니다.

$\mathbf{v} = a_1\mathbf{u}_1 + a_2\mathbf{u}_2 + \cdots + a_n\mathbf{u}_n$

이때, $\mathbf{v}$는 벡터 $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n$의 일차결합이라고 하며, $a_1, a_2, \ldots, a_n$은 $\mathbf{v}$의 계수(coefficient)라고 합니다.

일차결합 예제

과일 100g에 함유된 영양소의 양

| | 영양소 A(mg) | 영양소 B(mg) | 영양소 C(mg) | 영양소 D(mg) | 영양소 E(mg) | | :----: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | :----------: | | 과일1 | 0 | 1 | 2 | 20 | 2 | | 과일2 | 9000 | 3 | 2 | 10 | 4 | | 과일3 | 0 | 2 | 7 | 20 | 0 | | 과일4 | 10000 | 10 | 18 | 130 | 10 | | 과일5 | 0 | 5 | 6 | 30 | 0 | | 과일6 | 0 | 1 | 1 | 10 | 0 | | 과일7 | 10000 | 1 | 3 | 20 | 2 | | 과일8 | 0 | 2 | 2 | 40 | 0 | | 과일9 | 0 | 34 | 5 | 470 | 0 | | 과일10 | 0 | 2 | 25 | 40 | 0 | | 과일11 | 0 | 1 | 1 | 30 | 0 | | 과일12 | 0 | 45 | 63 | 620 | 0 |

각 과일에 포함된 5대 영양소를 A, B, C, D, E라고 합시다. 각 과일의 100g에 포함된 영양소의 양은 열벡터 $\in \mathbb{R}^5$로 나타낼 수 있습니다.

Tip

$\mathbb{R}^5$의 의미는 5차원의 실수공간을 의미합니다.

과일1의 100g에 들어 있는 영양소의 양을 열벡터로 나타내면 다음과 같습니다. (열벡터를 행벡터로 표현합니다.)

$$(0,\ 1,\ 2,\ 20,\ 2)$$

이제 과일5, 과일8, 과일9, 과일10, 과일12에 포함된 영양소의 합을 벡터로 표현해 봅시다.

$$(0,5,6,30,0) + (0,2,2,40,0) + (0,34,5,470,0) + 2(0,2,25,40,0) = (0,45,63,620,0)$$

과일12의 영양소 벡터는 과일5, 과일8, 과일9, 과일10의 영양소 벡터의 일차결합으로 나타낼 수 있습니다. 즉 과일5, 과일8, 과일9를 각각 100g씩 먹고 과일10을 200g 먹으면 과일12의 영양소를 얻을 수 있습니다.

이와 같은 방법으로 과일1, 과일2, 과일3, 과일6, 과일7, 과일11, 과일4에 포함된 원소의 양을 벡터의 식으로 나타내어 봅시다.

$$2(0,1,2,20,2) + (9000,3,2,10,4) + (0,2,7,20,0) + (0,1,1,10,0) + (10000,1,3,20,2) + (0,1,1,30,0) = (10000,10,18,130,10)$$

이렇게 과일1, 과일2, 과일3, 과일6, 과일7, 과일11의 일차결합으로 과일4의 영양소 벡터를 나타낼 수 있습니다.