선형대수학

1.3 부분공간 (Subspace)

앞서 우리는 벡터의 정의와 벡터 공간의 정의에 대해 알아보았습니다.

부분공간 (Subspace)

정의 (Definition)

$F$-벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 존재합니다. 이 부분집합 $W$가 $V$에서 정의한 합과 스칼라곱을 가진 $F$-벡터공간일 때, $V$의 부분공간(Subspace)이라고 합니다.

점공간 (Point Space)

모든 벡터공간 $V$에 대하여 $V$와 $\{\mathbf{0}\}$은 부분공간입니다. 특히 $\{\mathbf{0}\}$은 점공간이라고 합니다.

부분공간 검증

어떤 부분집합이 부분공간인지 확인하기 위해서 벡터공간의 8가지 정의를 모두 확인할 필요는 없습니다. 벡터공간의 모든 벡터에 대하여 앞서 정의한 정의들 중 (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)을 만족한다면 부분공간입니다.

필요충분조건

부분집합 $W$가 $V$의 부분공간이기 위한 필요충분조건은 다음 4가지를 만족하는 것입니다.

조건 (Condition)

성질 1. 모든 $\mathbf{x} \in W$, $\mathbf{y} \in W$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in W$이다.

성질 2. 모든 $c \in F$와 모든 $\mathbf{x} \in W$에 대하여 $c\mathbf{x} \in W$이다.

성질 3. $W$는 영벡터를 포함한다.

성질 4. $W$에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 $W$의 원소이다.

전치행렬 (Transpose Matrix)

$m \times n$ 행렬 $A$의 전치행렬 $A^t$는 $A$의 행과 열을 바꾸어 얻은 $n \times m$ 행렬입니다.

대칭행렬 (Symmetric Matrix)

$A^t = A$인 행렬을 대칭행렬이라고 합니다.

사고의 확장

• 영행렬의 전치행렬은 영행렬입니다. 즉 영행렬은 $W$의 원소입니다.
• $A \in W$, $B \in W$이면 $A^t = A$, $B^t = B$이고 $(A + B)^t = A^t + B^t = A + B$입니다. 즉 $W$는 덧셈에 대하여 닫혀 있습니다.
• $A \in W$이면 $A^t = A$이고 $c \in F$이면 $(cA)^t = cA^t = cA$입니다. 즉 $W$는 스칼라곱에 대하여 닫혀 있습니다.