선형대수학

1.2 벡터 공간 (Vector Space)

앞서 우리는 벡터에 대해서 공부했습니다. 그리고 평면에서의 8가지 성질에 대해서도 알아보았습니다.

성질 (Properties)

모든 벡터 $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ 에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$ 이다.

모든 벡터 $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ , $\mathbf{z}$ 에 대하여 $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$ 이다.

모든 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$ 를 만족하는 벡터 $\mathbf{0}$ 이 존재한다.

각 벡터 $\mathbf{x}$ 마다 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{0}$ 을 만족하는 벡터 $\mathbf{y}$ 가 존재한다.

모든 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대하여 $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$ 이다.

모든 실수 $a$ , $b$ 와 모든 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대하여 $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$ 이다.

모든 실수 $a$ 와 모든 벡터 $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ 에 대하여 $a(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$ 이다.

모든 실수 $a$ , $b$ 와 모든 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대하여 $(a + b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$ 이다.

이제 이러한 성질을 가지는 벡터들의 집합을 정의해 봅시다.

체 $F$ 에서의 벡터공간(Vector Space) 또는 선형공간(Linear Space) $V$ 는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라곱에 대한 닫힌(closed) 집합입니다.

정의 (Definition)

**합(sum)**은 $V$ 의 두 원소 $\mathbf{x}$ , $\mathbf{y}$ 에 대하여 유일한 원소 $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in V$ 를 대응하는 연산입니다. 이때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}$ 는 벡터의 합이라고 합니다.

**스칼라곱(scalar multiplication)**은 체 $F$ 의 원소 $a$ 와 $V$ 의 원소 $\mathbf{x}$ 에 대하여 유일한 원소 $a\mathbf{x} \in V$ 를 대응하는 연산입니다. 이때 $a\mathbf{x}$ 는 벡터 $\mathbf{x}$ 의 스칼라곱이라고 합니다.

체 F (Field)

실수 집합은 체(Field)라 불리는 수학적 구조의 대표적인 예입니다. 기본적으로 체는 원소를 0으로 나누는 것을 제외하면 두 원소의 합, 차, 곱, 나눗셈이 가능한 대수적 구조입니다.

체의 정확한 정의는 다음과 같습니다.

체 $F$ 는 두 연산, 덧셈과 곱셈이 주어진 집합입니다. $x, y \in F$ 의 순서쌍에 대하여 $x + y$ , $x \cdot y$ 가 유일하게 존재합니다. 그리고 모든 원소 $a, b, c \in F$ 에 대하여 다음 조건을 만족합니다.

조건 (Condition)

(F 1) 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙

(F 2) 덧셈과 곱셈에 대한 결합법칙

(F 3) 덧셈에 대한 항등원 $0$ 과 곱셈에 대한 항등원 $1$ 이 존재한다.

(F 4) 덧셈에 대한 역원 $-a$ 와 곱셈에 대한 역원 $a^{-1}$ 이 존재한다.

(F 5) 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

순서쌍 (n-tuple)

순서쌍은 $n$ 개의 원소를 순서대로 나열한 것입니다.

정의 (Definition)

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ 이 체 $F$ 의 원소일 때, $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 을 $n$ 순서쌍( $n$ -tuple)이라고 합니다.

순서쌍을 구성하는 원소 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 을 $n$ 순서쌍의 성분(component)이라고 합니다.

$F$ 에서 성분을 가져온 두 $n$ 순서쌍 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 과 $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ 은 $a_1 = b_1,\ a_2 = b_2,\ \ldots,\ a_n = b_n$ 이면 같다(equal)고 합니다.

행벡터 & 열벡터

$n$ 순서쌍은 행벡터와 열벡터로 나타낼 수 있습니다.

정의 (Definition)

$n$ 순서쌍 $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 은 가급적 행벡터보다는 열벡터로 나타냅니다.

행렬 (Matrix)

행렬은 순서쌍을 원소로 가지는 집합입니다. 즉 체 $F$ 에서 성분을 가져온 $m \times n$ 행렬은 다음과 같은 직사각형 형태의 순서쌍들의 집합입니다.

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

정의 (Definition)

모든 $a_{ij}$ ( $1 \leq i \leq m$ , $1 \leq j \leq n$ )는 $F$ 의 원소이다.

$i = j$ 인 성분 $a_{ij}$ 는 이 행렬의 대각성분이다.

$i \neq j$ 인 성분 $a_{ij}$ 는 이 행렬의 비대각성분이다.

성분 $a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in}$ 을 $i$ 행의 성분이라고 한다.

성분 $a_{1j}, a_{2j}, \ldots, a_{mj}$ 을 $j$ 열의 성분이라고 한다.

모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 한다.

행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라고 한다.

두 $m \times n$ 행렬 $A$ , $B$ 에 대응하는 성분이 모두 일치할 때, $A = B$ 혹은 같다고 한다.