선형대수학

1.1 벡터 (Vector)

힘, 속도, 가속도 등 많은 물리적 개념은 크기뿐 아니라 방향 정보를 가지고 있습니다. 이처럼 크기와 방향을 모두 가지는 물리량을 벡터라고 합니다.

벡터가 가지는 기하학적 의미를 충분히 음미하고 이해하는 것이 중요합니다.

방향의 성질을 유추할 만한 사례가 있습니다. 연어가 먼 바다로 나갔다가 돌아오는 것을 생각해 봅시다. 연어는 시속 4마일의 속도로 강물을 거슬러 올라간다고 가정합시다. 강물은 시속 3마일의 속도로 흐르고 있습니다. 이때 연어는 강물을 거슬러 수영하므로 속도는 시속 7마일이 될 수 없습니다. 하지만 연어가 다시 방향을 바꿔 강물이 흐르는 방향으로 수영한다면, 연어의 속도는 7마일이 됩니다.

위의 예를 살펴보면 연어의 속도와 강물의 속도라는 두 가지 물리량이 작용하고 있는 계에서 단순히 물리량의 크기(속력)뿐만 아니라 방향까지 고려해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 두 물리량을 결합하여 나타나는 효과는 합성벡터로 설명할 수 있습니다. 이때 합성벡터를 합이라고 하고, 두 벡터를 결합시키는 규칙을 벡터 합의 평행사변형 법칙이라고 합니다.

Theorem

시점이 P로 일치하는 두 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$의 합은 점 P에서 시작하는 벡터이고, 이는 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타납니다.

벡터에서는 합 외에도 자연스러운 연산이 하나 더 있습니다. 벡터의 크기를 확대하거나 축소할 수 있는데, 이를 벡터에 실수를 곱하는 스칼라 곱이라는 연산으로 나타냅니다. 벡터 $\mathbf{x}$를 유향선분으로 이해할 때, 0이 아닌 실수 $t$에 대하여 벡터 $t\mathbf{x}$의 방향은 $t > 0$일 때 $\mathbf{x}$의 방향과 같고, $t < 0$일 때 $\mathbf{x}$의 방향과 반대입니다. 벡터 $t\mathbf{x}$의 크기는 유향선분 $\mathbf{x}$의 크기에 $t$의 절대값을 곱한 것입니다. 영이 아닌 두 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$에 대하여 $\mathbf{y} = t\mathbf{x}$인 0이 아닌 실수 $t$가 존재할 때, 두 벡터는 평행합니다.

벡터 합

스칼라 곱

성질 (Properties)

1. 모든 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$이다.
2. 모든 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$, $\mathbf{z}$에 대하여 $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$이다.
3. 모든 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여 $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$를 만족하는 벡터 $\mathbf{0}$이 존재한다.
4. 각 벡터 $\mathbf{x}$마다 $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{0}$을 만족하는 벡터 $\mathbf{y}$가 존재한다.
5. 모든 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여 $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$이다.
6. 모든 실수 $a$, $b$와 모든 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여 $(ab)\mathbf{x} = a(b\mathbf{x})$이다.
7. 모든 실수 $a$와 모든 벡터 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$에 대하여 $a(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$이다.
8. 모든 실수 $a$, $b$와 모든 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여 $(a + b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$이다.

공간에서 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선을 생각해 봅시다. 이 공간에 공간 좌표를 부여하고 원점을 O라고 표기합니다. 시점이 O이고 종점이 A, B인 두 벡터를 각각 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$라고 합시다. 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 $\mathbf{w}$라고 하면, $\mathbf{u} + \mathbf{w} = \mathbf{v}$입니다. 이항해서 정리하면 $\mathbf{w} = \mathbf{v} - \mathbf{u}$입니다. 이때 $-\mathbf{u}$는 $(-1)\mathbf{u}$를 의미하고, 이는 $\mathbf{u}$의 방향을 반대로 하고 크기를 $|\mathbf{u}|$만큼 확대한 벡터입니다. 이를 $\mathbf{u}$의 역벡터라고 합니다.

두 점 A, B를 이은 직선 위 임의의 점은 A를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 $t$에 대하여 $t\mathbf{w}$의 형태로 표현할 수 있습니다. 반대로 A를 시점으로 하는 벡터 $t\mathbf{w}$의 종점은 두 점 A, B를 이은 직선 위에 있습니다. 따라서, 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{x} = \mathbf{u} + t\mathbf{w} = \mathbf{u} + t(\mathbf{v} - \mathbf{u}) = (1 - t)\mathbf{u} + t\mathbf{v} \quad (t \in \mathbb{R},\ \mathbf{x} \text{는 직선 위의 임의의 점})$$

두 점을 지나는 직선의 방정식