On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity.

(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr ̈osse.)

Bernhard Riemann

[Monatsberichte der Berliner Akademie, November 1859.]

Translated by David R. Wilkins

Preliminary Version: December 1998

주어진 양보다 작은 소수의 개수에 대하여

(베른하르트 리만)

1859년 11월, 베를린 아카데미 보고서

(번역: David R. Wilkins, 1998년)

I believe that I can best convey my thanks for the honour which the Academy has to some degree conferred on me, through my admission as one of its correspondents, if I speedily make use of the permission thereby received to communicate an investigation into the accumulation of the prime numbers; a topic which perhaps seems not wholly unworthy of such a communication, given the interest which Gauss and Dirichlet have themselves shown in it over a lengthy period. For this investigation my point of departure is provided by the observation of Euler that the product

저는 아카데미가 저에게 어느 정도 부여한 영예에 대한 감사를 가장 잘 전달할 수 있다고 믿습니다. 저는 아카데미의 통신원 중 한 명으로 인정받았습니다. 그러므로 저는 받은 허가를 신속하게 활용하여 소수의 누적에 대한 연구를 전달합니다. 아마도 가우스와 디리클레가 오랜 기간 동안 관심을 보인 주제인 만큼, 이 주제는 전달하기에 전혀 부적합하지 않은 것 같습니다. 이 연구를 위해 제 출발점은 오일러의 관찰에서 비롯됩니다.

\(\prod \frac{1}{1 - p^{-s}} = \sum \frac{1}{n^s}\)

if one substitutes for p all prime numbers, and for n all whole numbers. The function of the complex variable s which is represented by these two expressions, wherever they converge, I denote by ζ(s). Both expressions converge only when the real part of s is greater than 1; at the same time an expression for the function can easily be found which always remains valid.

On making use of the equation

p를 모든 소수로 대체하고 n을 모든 정수로 대체하면, 이 두 표현식으로 표현되는 복소수 변수 s의 함수는 어디에서 수렴하든 ζ(s)로 표시합니다. 두 표현식 모두 s의 실수 부분이 1보다 클 때만 수렴합니다. 동시에 함수에 대한 표현식을 쉽게 찾을 수 있으며 항상 유효합니다.

방정식을 사용하면

\(\int_{0}^{\infty} e^{-nx} x^{s-1} dx = \frac{\Gamma(s-1)}{n^s}\)

one first sees that

먼저 다음이 성립함을 알 수 있다

\(\Gamma(s-1) \zeta(s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1} dx}{e^x - 1}\)

If one now considers the integral

이제 다음 적분을 고려해보면

\(\int_{}^{} \frac{(-x)^{s-1} dx}{e^x - 1}\)

from +∞ to +∞ taken in a positive sense around a domain which includes the value 0 but no other point of discontinuity of the integrand in its interior, then this is easily seen to be equal to

+∞에서 +∞까지가 0 값을 포함하지만 적분 대상의 불연속점 내부에 다른 점은 없는 도메인 주변에서 양의 의미로 취해지면 이것은 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

\((e^{-𝝿si} - x^{𝝿si}) \int_{}^{} \frac{x^{s-1} dx}{e^x - 1}\)

provided that, in the many-valued function 참조식-1(참고), the log- arithm of −x is determined so as to be real when x is negative.

Hence

단, 다값 함수 참조식-1(참고)에서 −x의 로그 연산은 x가 음수일 때 실수가 되도록 결정됩니다.

따라서

\(2 \sin(\pi s) \Gamma(s-1) \zeta(s) = i \int_{\infty}^{\infty} \frac{(-x)^{s-1} dx}{e^x - 1}\)

\((-x)^{s-1} = e^{(s-1) \log(-x)}\)

where the integral has the meaning just specified. This equation now gives the value of the function ζ(s) for all complex numbers s and shows that this function is one-valued and finite for all finite values of s with the exception of 1, and also that it is zero if s is equal to a negative even integer. If the real part of s is negative, then, instead of being taken in a pos- itive sense around the specified domain, this integral can also be taken in a negative sense around that domain containing all the remaining complex quantities, since the integral taken though values of infinitely large modulus is then infinitely small. However, in the interior of this domain, the inte- grand has discontinuities only where x becomes equal to a whole multiple of ±2πi, and the integral is thus equal to the sum of the integrals taken in a negative sense around these values. But the integral around the value n2πi is = (−n2πi)s−1(−2πi), one obtains from this

여기서 적분은 방금 지정한 의미를 갖습니다. 이 방정식은 이제 모든 복소수 s에 대한 함수 ζ(s)의 값을 제공하고 이 함수가 1값을 갖고 1을 제외한 모든 유한한 s 값에 대해 유한하며 또한 s가 음의 짝수 정수와 같으면 0임을 보여줍니다. s의 실수 부분이 음수이면 지정된 도메인 주위에서 양의 의미로 취해지는 대신 이 적분은 나머지 모든 복소수를 포함하는 도메인 주위에서 음의 의미로 취해질 수도 있습니다. 무한히 큰 모듈러스 값을 통해 취해진 적분은 무한히 작기 때문입니다. 그러나 이 도메인의 내부에서 적분은 x가 ±2πi의 정수배가 되는 곳에서만 불연속성을 가지며 따라서 적분은 이러한 값 주위에서 음의 의미로 취해진 적분의 합과 같습니다. 그러나 n2πi 값 주위의 적분은 = (−n2πi)s−1(−2πi)이고, 여기서 다음을 얻습니다.

\(\Gamma \left(\frac{s}{2} - 1 \right) \pi^{- \frac{s}{2}} \zeta(s)\)

\(\Gamma \left(\frac{s}{2} \right) (s-1) \pi^{- \frac{s}{2}} \zeta(s) = \xi(t)\)

\(\xi(t) = \frac{1}{2} - \left(t^2 + \frac{1}{4}\right) \int_{1}^{\infty} \psi(x) x^{-\frac{3}{4}} \cos\left(\frac{1}{2} t \log x\right) dx\)

\(\xi(t) = 4 \int_{1}^{\infty} \frac{d(x^{\frac{3}{2}} \psi'(x))}{dx} x^{-\frac{1}{4}} \cos\left(\frac{1}{2} t \log x\right) dx\)

우원 /

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우원입니다.

주어진 양보다 작은 소수의 개수에 대하여 번역