Linear Algebra

part 1.3 - Subspace

앞서 우리는 벡터의 정의와 벡터 공간의 정의에 대해 알아보았다.

Definition

F-벡터공간 V의 부분집합 W가 존재한다. 이 부분집합 W가 V에서 정의한 합과 스칼라 곱을 가진 F-벡터공간일 때, V의 부분공간(Subspace)이라고 한다.

모든 벡터공간 V에 대하여 V롸 0은 부분공간이다. 특히 0은 점공간이라고 한다.

어떤 부분집합이 부분공간인지 확인하기 위해서 벡터공간의 8가지 정의를 모두 확인할 필요가 없다. 벡터공간의 모든 벡터에 대하여 앞서 정의한 정의들 중 (VS1), (VS2), (VS5), (VS6), (VS7), (VS8)을 만족한다면 부분공간이다.

부분집합 W가 V의 부분공간이지 위한 필요충분조건은 다음 4가지를 만족하는 것이다.

Condition

성질 1. 모든 x ∈ W,y ∈ W에 대하여 x + y ∈ W이다.

성질 2. 모든 c ∈ F와 모든 x ∈ W에 대하여 cx ∈ W이다.

성질 3. W는 영벡터를 포함한다.

성질 4. W에 속한 모든 벡터의 덧셈에 대한 역벡터는 W의 원소이다.

m * n 행렬 A의 전치행렬 At는 A의 행과 열을 바꾸어 얻은 n * m 행렬이다.

At = A인 행렬을 대칭행렬이라고 한다.

영행렬의 전치행렬은 영행렬이다. 즉 영행렬은 W의 원소이다.
A ∈ W, B ∈ W이면 At = A, Bt = B이고 (A + B)t = At + Bt = A + B이다. 즉 W는 덧셈에 대하여 닫혀있다.
A ∈ W이면 At = A이고 c ∈ F이면 (cA)t = cAt = cA이다. 즉 W는 스칼라 곱에 대하여 닫혀있다.

안녕하세요👏
우원입니다.