Linear Algebra - part 1.2 - Vector Space

July 01, 2023 - 우원

Linear Algebra

part 1.2 - Vector Space

앞서 우리는 벡터에 대해서 공부했다. 그리고 평면에서의 8가지 성질에 대해서도 알아보았다.

Properties
1. 모든 벡터 x, y에 대하여 x + y = y + x이다.
2. 모든 벡터 x, y, z에 대하여 (x + y) + z = x + (y + z)이다.
3. 모든 벡터 x에 대하여 x + 0 = x를 만족하는 벡터 0이 존재한다.
4. 각 벡터 x마다 x + y = 0을 만족하는 벡터 y가 존재한다.
5. 모든 벡터 x에 대하여 1x = x이다.
6. 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (ab)x = a(bx)이다.
7. 모든 실수 a와 모든 벡터 x, y에 대하여 a(x + y) = ax + by이다.
8. 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (a + b)x = ax + bx이다.

이제 이러한 성질을 가지는 벡터들의 집합을 정의해보자.

체 F에서의 벡터공간(Vector Space) 또는 선형공간(Linear Space) V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라곱에 대한 닫힌(closed) 집합이다.

Definition

합(sum)은 V의 두 원소 x, y에 대하여 유일한 원소 x + y ∈ V를 대응하는 연산이다. 이때 x + y는 벡터의 합이라고 한다.

스칼라곱(scalar multiplication)은 체 F의 원소 a와 V의 원소 x에 대하여 유일한 원소 ax ∈ V를 대응하는 연산이다. 이때 ax는 벡터 x의 스칼라곱이라고 한다.

체 F(Field)

실수 집합은 체(Field)라 불리는 수학적 구조의 대표적인 예이다. 기본적으로 체는 원소를 0으로 나누는 것을 제외하면 두 원소의 합, 차, 곱, 나눗셈이 가능한 대수적 구조이다.

체의 정확한 정의는 다음과 같다.

체 F는 두 연산, 덧셈과 곱셈이 주어진 집합이다. x, y ∈ F의 순서쌍에 대하여 x + y, x · y가 유일하게 존재한다. 그리고 모든 원소 a, b, c ∈ F에 대하여 다음 조건을 만족한다.

Condition
(F 1) 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙
(F 2) 덧셈에 곱셈에 대한 결합법칙
(F 3) 덧셈에 대한 항등원 0과 곱셈에 대한 항등원 1이 존재한다.
(F 4) 덧셈에 대한 역원 -a와 곱셈에 대한 역원 a-1이 존재한다.
(F 5) 덧셈과 곱셈에 대한 분배법칙

순서쌍(n-tuple)

순서쌍은 n개의 원소를 순서대로 나열한 것이다.

Definition

a1, a2, ..., an이 체 F의 원소일 때, (a1, a2, ..., an)을 n순서쌍(n-tuple)이라고 한다.

순서쌍을 구성하는 원소 a1, a2, ..., an을 n순서쌍의 성분(component)이라고 한다.

F에서 성분을 가져온 두 n순서쌍 (a1, a2, ..., an)과 (b1, b2, ..., bn)은 a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn이면 같다(equal)고 한다.

행벡터 & 열벡터

n순서쌍은 행벡터와 열벡터로 나타낼 수 있다.

Definition
n순서쌍 (a1, a2, ..., an)은 가급적 행벡터 보다는 열벡터로 나타낸다.

Matrix(행렬)

행렬은 순서쌍을 원소로 가지는 집합이다. 즉 체 F에서 성분을 가져온 m * n 행렬은 다음과 같은 직사각형 형태의 순서쌍들의 집합이다.

matrix
Definition
- 든 aij(1 <= i <= m,1 <= j <= n)는 F의 원소이다.
- i = j인 성분 aij는 이 행렬의 대각성분이다.
- i != j인 성분 aij는 이 행렬의 비대각성분이다.
- 성분 ai1, ai2, ..., ain을 i행의 성분이라고 한다.
- 성분 a1j, a2j, ..., amj을 j열의 성분이라고 한다.
- 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라고 한다.
- 행의 개수와 열의 개수가 같은 행렬을 정사각행렬(square matrix)이라고 한다.
- 두 m * n 행렬 A, B에 대응하는 성분이 모두 일치할 때, A = B 혹은 같다라고 한다.
logo

우원 /

안녕하세요👏
우원입니다.
Email
Gihub
안녕하세요. 우원봇입니다.
logo