Linear Algebra
part 1.2 - Vector Space
앞서 우리는 벡터에 대해서 공부했다. 그리고 평면에서의 8가지 성질에 대해서도 알아보았다.
이제 이러한 성질을 가지는 벡터들의 집합을 정의해보자.
체 F에서의 벡터공간(Vector Space) 또는 선형공간(Linear Space) V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라곱에 대한 닫힌(closed) 집합이다.
합(sum)은 V의 두 원소 x, y에 대하여 유일한 원소 x + y ∈ V를 대응하는 연산이다. 이때 x + y는 벡터의 합이라고 한다.
스칼라곱(scalar multiplication)은 체 F의 원소 a와 V의 원소 x에 대하여 유일한 원소 ax ∈ V를 대응하는 연산이다. 이때 ax는 벡터 x의 스칼라곱이라고 한다.
체 F(Field)
실수 집합은 체(Field)라 불리는 수학적 구조의 대표적인 예이다. 기본적으로 체는 원소를 0으로 나누는 것을 제외하면 두 원소의 합, 차, 곱, 나눗셈이 가능한 대수적 구조이다.
체의 정확한 정의는 다음과 같다.
체 F는 두 연산, 덧셈과 곱셈이 주어진 집합이다. x, y ∈ F의 순서쌍에 대하여 x + y, x · y가 유일하게 존재한다. 그리고 모든 원소 a, b, c ∈ F에 대하여 다음 조건을 만족한다.
순서쌍(n-tuple)
순서쌍은 n개의 원소를 순서대로 나열한 것이다.
a1, a2, ..., an이 체 F의 원소일 때, (a1, a2, ..., an)을 n순서쌍(n-tuple)이라고 한다.
순서쌍을 구성하는 원소 a1, a2, ..., an을 n순서쌍의 성분(component)이라고 한다.
F에서 성분을 가져온 두 n순서쌍 (a1, a2, ..., an)과 (b1, b2, ..., bn)은 a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn이면 같다(equal)고 한다.
행벡터 & 열벡터
n순서쌍은 행벡터와 열벡터로 나타낼 수 있다.
Matrix(행렬)
행렬은 순서쌍을 원소로 가지는 집합이다. 즉 체 F에서 성분을 가져온 m * n 행렬은 다음과 같은 직사각형 형태의 순서쌍들의 집합이다.
우원 /
우원입니다.
